NOTAS PARA UMA TEORIA DA MODELAGEM EM CIÊNCIA, COGNIÇÃO E ENSINO.

NOTAS PARA UMA TEORIA DA MODELAGEM EM CIÊNCIA, COGNIÇÃO E ENSINO[1]

David Hestenes[2]

Tradução: Ednilson Souza[3]

Resumo

A Teoria da Modelagem permite um fundamento comum para a pesquisa interdisciplinar em ensino de ciências e para muitos ramos da ciência cognitiva, com implicações na prática científica, planejamento de ensino, e conexões entre ciências, matemática e senso comum.

Para a grande questão filosófica: “O que é o homem?”

Aristóteles respondeu:

“O homem é um animal racional”.

A Teoria da Modelagem oferece uma nova resposta:

“O homem é um animal modelador!”

Homo modelus!

I. Introdução

            Durante as duas últimas décadas, a Pesquisa em Ensino de Física (PER) emergiu como uma subdisciplina viável em física, com faculdades em departamentos de física especializados em pesquisa sobre a aprendizagem e ensino de física. Ainda há muita resistência para a PER por parte de físicos intransigentes que são suspeitos de qualquer pesquisa que cheire à educação, psicologia ou filosofia. Contudo, isso é contradito por um crescente corpo de resultados documentando a deficiência no ensino tradicional de física e melhoras significativas baseadas na pedagogia da PER. No geral, a PER suporta a conclusão de que o conteúdo de ciências não pode ser separado do pedagógico no planejamento de um ensino de ciências efetivo. A aprendizagem depende tanto da estrutura e organização dos assuntos como da maneira como os estudantes se envolvem. Por essa razão, a pesquisa em ensino de ciências deveria ficar por conta dos departamentos de ciências e não nas faculdades de educação.

            Como um apostador na PER desde seu início, meu objetivo tem sido estabelecer uma teoria científica do ensino para guiar a pesquisa e prática. Desenhado sobre minha própria experiência como cientista, identifiquei a construção e uso de modelos conceituais como central na pesquisa e prática científica, também a adotei como temática central para uma TEORIA DA MODELAGEM do ensino de ciências. Desde o início, ficou evidente que a Teoria da Modelagem se destinava à cognição e aprendizagem tanto na vida cotidiana como na ciência, isso exigiu o desenvolvimento de um modelo baseado na epistemologia e filosofia da ciência. Então começou um PROGRAMA DE PESQUISA DE MODELAGEM: aplicação da teoria para planejar o currículo e ensino, avaliar resultados e revisar teoria e métodos de ensino. A Figura 01 fornece uma visão geral do programa.

Figura 1. Teoria da Modelagem: Pesquisa & Prática

            Na segunda seção faço comentários sobre a evolução do Programa de Pesquisa em Modelagem. Evolução simultânea da Ciência Cognitiva é descrita na terceira seção, quando inicia o principal objetivo deste artigo: lançar as bases para uma Teoria da Modelagem comum na ciência cognitiva e ensino de ciências para orientar pesquisas simbióticas em ambos os campos. Pesquisa científica é então direcionada para uma descrição unificada da cognição no senso comum, ciência e matemática. Isso abre enormes oportunidades para a pesquisa em ensino de ciências que, espero, alguns leitores possam ser induzidos a perseguir.

            Claro que eu não sou o único a reconhecer a importância de modelos e modelagem na ciência, cognição e ensino. Uma vez que esse tema permeia toda a ciência, certamente eu esqueci muitos aspectos importantes. Eu posso somente esperar que este artigo contribua para um diálogo mais amplo, se não para os objetivos da pesquisa comum.

II. Evolução da Instrução por Modelagem

            Meu interesse permanente nas questões sobre cognição e epistemologia da ciência e matemática iniciou quando eu era estudante de filosofia. Em 1956 troquei para o estudo da física com a esperança de encontrar algumas respostas. Por volta de 1976 estabeleci um programa de pesquisa produtivo em física teórica e matemática, o qual, fico satisfeito em dizer, ainda hoje é frutífero [1]. Nesse tempo, as atividades de meus colegas Richard Stoner, Bill Tillery e Anton Lawson provocaram meu interesse em problemas de aprendizagem. O resultado foi meu primeiro artigo defendendo a Pesquisa em Ensino de Física [2].

            Eu logo fui forçado a seguir minhas próprias opiniões pela responsabilidade da orientação do doutoramento em PER de dois ilustres estudantes, Ibrahim Halloun e Malcolm Wells. Halloun iniciou cerca de um ano antes de Wells. Em minha interação com eles, dois temas de pesquisa emergiram: primeiro, efeitos sobre a aprendizagem dos estudantes de um ensino centrado em modelos e modelagem; segundo, efeitos do ensino sobre as preconcepções que os estudantes têm em física.

            A Instrução por Modelagem foi um tema que veio facilmente. Estava realmente convincente do papel central da modelagem nas pesquisas em física, e estava quase concluindo um livro sobre mecânica clássica avançada com ênfase em modelagem [12]. Assim, com Halloun como professor assistente, conduzimos vários anos de experimentos com modelagem em meu curso física básica.

            O segundo tema foi mais problemático. Eu fui levado a focar sobre os modos que os estudantes pensam a partir de numerosas discussões com Richard Stoner sobre os resultados de exames em curso de física. As questões de seus exames envolviam somente respostas qualitativas, porque ele acreditava que são melhores indicadores da compreensão em física que problemas quantitativos. Contudo, apesar de seu heroico esforço para melhorar cada aspecto de seu curso, com uso de laboratório e resolução de problemas para interação pessoal com os estudantes, averiguou-se um escore da classe manteve-se abaixo de 40%. Em nossas longas discussões sobre as respostas de seus estudantes, fiquei intrigado quando ele revelou sobre o pensamento de um aluno e sua divergência com a física que ele estava tentando ensinar. Então resolvemos planejar um teste para avaliar de forma sistemática essa discrepância. Durante o ano seguinte encontrei várias dicas na literatura sobre o que incluir. Quando Halloun chegou, passei o projeto a ele para que completasse o trabalho pesado de planejar os itens, validando o teste e analisando o resultado junto a um grande conjunto de alunos.

            Os resultados [3, 4] foram uma grande surpresa! Surpreendeu até a mim! Tão assombroso que o editor da revista acelerou a publicação! Com subsequentes melhoramentos [5], o teste é agora conhecido como Inventário do Conceito de Força (FCI), mas que foram apenas consolidados e aprimorados os resultados iniciais. Implicações para o ensino são discutidos abaixo em conexão com desenvolvimentos recentes. Por enquanto é suficiente saber que o FCI foi imediatamente reconhecido como um instrumento confiável para avaliar a efetividade do ensino de física tanto no ensino médio quanto na graduação.

            Cinco artigos principais [6-10] foram publicados sobre Teoria da Modelagem e implicações no ensino. Esses artigos forneceram um pano de fundo teórico para o Projeto Instrução por Modelagem [11], que é indiscutivelmente o mais bem-sucedido programa para reforma do ensino de física no ensino médio nos Estados Unidos, se não no mundo. Desde então, raramente esses artigos têm ficado de fora do projeto, comentarei em poucas palavras sobre o que eles podem oferecer.

            O primeiro deles [6] promove a fundamentação teórica inicial para Teoria da Modelagem e sua relação com a ciência cognitiva. Como a modelagem tornou-se um tema popular na educação em ciências nos últimos anos, pode ser difícil compreender a resistência que teve em 1985, quando foi submetido pela primeira vez. A publicação foi protelada por dois anos devido a objeções veementes de um avaliador, que foi finalmente convencido pelo editor. Consequentemente, o artigo foi admitido como mera especulação por empiristas na comunidade da PER, apesar do fato que foi acompanhado por documentos que comprovavam a aplicação bem-sucedida no ensino. Mesmo assim, este artigo permite uma fundamentação teórica inicial para todo o desenvolvimento subsequente da Instrução por Modelagem. Deve ser admitido, contudo, que é de difícil leitura, mais apropriado a pesquisadores que professores.

            O artigo [7] é o meu favorito, porque ele exorciza a contaminação positivista acumulada de físicos newtonianos em favor de considerações cognitivas centradas em modelos. Em primeiro lugar, ele quebra com a tradição ao formular todas as seis leis de Newton. Isso é pedagogicamente importante porque todas a seis leis são necessárias para cobertura completa do “conceito de força”, enfocado no FCI [5]. Além disso, formula explicitamente a Lei Zero (sobre espaço e tempo) devendo interessar a todos os físicos, porque esta é a parte da física newtoniana que foi mudada pela teoria da relatividade. Além do que, o artigo mostra que conscientemente Newton aplicou técnicas básicas de modelagem com grande competência e discernimento. De fato, a Newton pode ser creditada a formulação do primeiro conjunto de regras para JOGOS DE MODELAGEM que os cientistas vêm jogando desde então.

            Os artigos em [11] ampliam a Teoria da Modelagem visando planejamento de ensino, especialmente o planejamento de software para facilitar atividades de modelagem. Infelizmente, a R&D (pesquisa e desenvolvimento) necessárias para construir tais softwares são muito caros, e as fontes de financiamento ainda não são suficientes para suporta-lo.

            Em contraste com a ênfase teórica anterior, os artigos [8, 9] são destinados a práticas dos professores. O artigo [8] descreve o resultado da tese de doutorado de Wells juntamente com o planejamento instrucional que fizemos juntos e sua brilhante inovação na administração do discurso em modelagem. Sua invenção dos quadros brancos portáteis (portable Whiteboards) para organizar o discurso dos alunos foi propagado pelas salas de aula do mundo inteiro. Infelizmente, uma doença terminal o impediu de dar sua contribuição neste trabalho.

            A pesquisa de doutorado de Wells merece reconhecimento como uma das mais bem-sucedidas e significantes experiências pedagógicas até então realizadas. Eu o conheci como um talentoso professor com trinta anos de experiência que havia explorado todos os recursos pedagógicos disponíveis. Ele já havia criado um sistema completo de atividades para apoiar a investigação centrada no aluno que cumpria todas as recomendações dos Padrões Nacionais para o Ensino de Ciências. Ainda assim estava insatisfeito. Atordoado pela performance de seus estudantes diante do precursor do FCI, ele resolveu adaptar para o ensino médio as ideias da Instrução por Modelagem que Halloun e eu estávamos experimentando na faculdade. O controle de seu experimento foi excepcional. Como um tipo de controle, ele levantou dados completos sobre a performance de seus próprios estudantes antes da Instrução por Modelagem. As atividades de sala de aula para tratamento e controle de grupos foi idêntico. A única diferença foi que o discurso e atividades foram focadas sobre modelos com ênfase na descoberta e avaliação das próprias ideias dos alunos. Como um segundo controle, os resultados do pós-testes para tratamento de grupo foram comparados a outro grupo em acompanhamento que estava sendo ensinado pelo método tradicional no mesmo período. Os ganhos do desempenho comparativo de seus estudantes foram sem precedentes. Eu estou absolutamente confiante de sua validade, porque eles têm sido replicados várias vezes, não somente por Wells, mas por outros que o seguiram.

            Fiquei tão impressionado com o resultado de Wells que obtive em 1989 uma outorga da Fundação Nacional de Ciência dos Estados Unidos para ajudá-lo a desenvolver Oficinas de Modelagem (Modeling Workshops) para inspirar e habilitar outros professores a replicar seu feito. Então iniciou o Modeling Instruction Project (Projeto Instrução por Modelagem), que, com contínuo apoio da NSF, evoluiu por meio de vários estágios progressivos com implicações mais amplas para a reforma do ensino de ciências por todo os Estados Unidos. Detalhes estão disponíveis no website do projeto [11]. Nada disso, incluindo meu próprio envolvimento, teria acontecido sem a influência pioneira de Malcolm Wells.

III. Evolução da Ciência Cognitiva

            A ciência cognitiva cresceu em paralelo com a PER e com a Teoria da Modelagem. Com o objetivo de conectar os fios, deixe-me descrever a emergência da ciência cognitiva da perspectiva de quem seguiu esse desenvolvimento desde o início. Claro, os mistérios do pensamento humano tem sido objeto de contemplação filosófica desde tempos antigos, mas recursos teóricos e empíricos suficientes para suportar uma ciência genuína da mente foi montado somente recentemente. O Quadro 1 esboça os principais pontos do que quero compor.

Quadro 1. Emergência da Ciência Cognitiva

I. Precursores científicos ·         Matemática e lógica formalista (~1850-1940) o   Axiomas & padrões para provas rigorosas. o   Raciocínio por regras e algoritmos. ·         Operacionalismo (Bridgeman, 1930) ·         Convencionalismo (Poincaré, 1902) ·         Psicologia Gestalt (~1915-1940) ·         Epistemologia Genética (Piaget, ~1930-1960) II. Emergência de computadores e ciência da computação (~1945-1970) Implementação de estruturas operacionais III. Primeira Geração da Ciência Cognitiva (~1960-1980) ·         Metáfora do “cérebro como um computador em série” ·         “Mente como um sistema de software computacional” ·         Psicologia do processamento da informação & IA o   Pensamento é manipulação simbólica o   Funcionalismo (detalhes sobre o cérebro é irrelevante) IV. Segunda Geração da Ciência Cognitiva (~1983) ·         Nível de rede neural o   Cérebro é um sistema dinâmico massivamente paralelo. o   Pensamento é processamento padrão ·         Fenomenologia Cognitiva no nível funcional o   Evidência empírica para modelagem mental é rapidamente acumulada a partir de diversas fontes.

            Considero o movimento formalista na matemática como um componente essencial na evolução da matemática como a ciência da estrutura, que é o tema central de nossa formulação da Teoria da Modelagem abaixo. Axiomas são frequentemente disseminados como sutilezas matemáticas, desnecessários para a ciência. Mas deve ser reconhecido que axiomas são essenciais para Geometria Euclidiana, e sem Geometria não há ciência. Acredito que a figura central no movimento formalista, David Hilbert, foi o primeiro a reconhecer que axiomas são definições reais! Axiomas definem a estrutura em um sistema matemático, e a estrutura possibilita inferências racionais!

            Igualmente importante para a ciência é a estrutura operacional da medição científica, por isso é essencial para relacionar a estrutura teórica à estrutura experiencial no mundo físico. Este ponto foi feito mais enfaticamente pelo físico Percy Bridgeman, com seu conceito de definições operacionais para quantidades físicas (veja [07] para qualificações). Contudo, para mim, a análise mais profunda da medida científica foi feita por Henri Poincaré, que explicou como as convenções de medidas influenciam profundamente as concepções teóricas. Em particular, ele afirmou que a curvatura do espaço físico não é um fato da natureza independente de como as medições são definidas. Esta afirmação foi longa e inconclusivamente debatida em círculos filosóficos, mas recentemente recebeu confirmação espetacular [14].

            Seguindo uma longa tradição na filosofia racionalista, o movimento formalista na matemática e lógica foi amplamente construído como a fundação para uma teoria da mente, especialmente na filosofia analítica anglo-americana. Esse é um erro flagrante que foi redondamente criticado por George Lakoff e Mark Johnson [17-21] à luz dos recentes desenvolvimentos da ciência cognitiva. Mesmo assim, como já sugerido, noções formalistas têm um importante papel na caracterização da estrutura da cognição.

            A criação de computadores em série pode ser interpretada como implementação tecnológica de estruturas operacionais desenvolvidas na tradição formalista. Logo estimulou a criação da psicologia do processamento da informação, com a noção que cognição envolve processamento simbólico. Estava certo disso até a aplicação desse erro flagrante no ensino de física [2]. Ainda assim, a maioria dos resultados de pesquisas importantes que relatei sobreviveram com uma reinterpretação quando a confusão entre cognição e processamento simbólico veio à tona. O processamento simbólico ainda é ideia central na ciência computacional e inteligência artificial (IA), mas somente os desinformados podem confundi-lo com processamento cognitivo.

            Tentei ligar os dados do Quadro 01 a eventos significantes em cada categoria. Selecionei a data de 1983 o começo da segunda geração da ciência cognitiva, porque tive o privilégio de co-organizar a primeira conferência exclusivamente voltada para o que é agora conhecido como neurociência cognitiva. Ela levou vários anos para superar a forte tendência empirista da comunidade da neurociência e estabelecer a modelagem de rede neural como uma atividade respeitável na área. A consequência foi uma revolução no pensamento sobre o pensamento, que é nosso objetivo explorar.

IV. Pesquisa sobre Modelagem na Ciência Cognitiva

            Com sua promessa para uma ciência universal da mente, a ciência cognitiva perpassou por toda disciplina científica e foi além. O Quadro 2 lista as pesquisas que vejo como altamente relevante para a Teoria da Modelagem que estou propondo. A listagem é somente ilustrativa, como muitos de meus favoritos são omitidos. Estes cientistas são tão produtivos que é impraticável citar cada um de seus mais importantes trabalhos. Em vez disso, chamo a atenção para vários temas de pesquisas, que será expandido com citações quando ocorrerem discussões específicas.

Quadro 2. Pesquisa em modelagem e ciência cognitiva

Filosofia da Ciência Ronald Giere (Filosofia da ciência baseada em modelo) Jon Barwise (Inferência dedutiva a partir de diagramas) História e Sociologia da Ciência Thomas Kuhn (Pesquisa orientada por paradigmas) Nancy Nercessian (Modelagem analógica de Maxwell) Psicologia Cognitiva Dedre Gentner (Raciocínio analógico) Philip Johnson-Laird (Inferência com modelos mentais) Barbara Tversky (Modelo mental espacial vs imagem visual) Linguística Cognitiva George Lakoff (Metáfora & categoria radial) Ronald Langacker (Gramática cognitiva & esquemas imagens) Neurociência cognitiva Michael O’Keeffe (Hipocampo como um Mapa Cognitivo) Stephen Grossberg (Teoria da rede neural) Pesquisa em Ensino de Física Andy diSessa (Primitivos fenomenológicos) John Clement (Analogias ponte) Informação & Ciência de Design LMU: Linguagem de Modelagem Universal & Programação orientada a objeto

            As referências [15, 16] permitem uma visão da importância do trabalho de Giere, Nercessian e Gentner, os quais têm bem mais em comum com meu próprio pensamento que pode ser difícil acreditar que ele se desenvolveu independentemente. Isso ilustra o fato que as ideias significantes estão implícitas na cultura da ciência esperando por investigadores para explicar e cultivar suas próprias.

            Na seção que segue enfatizo o alinhamento da Teoria da Modelagem com a Linguística Cognitiva, especialmente como exposto por George Lakoff [17-20].

            A linguagem é uma janela para a mente e a pesquisa em linguística tem originado um vasto corpo de conhecimentos para investigações dentro da estrutura e uso da linguagem. Meu objetivo é aplicar esses conhecimentos para compreender a cognição na ciência e matemática. A Linguística Cognitiva tornou isso possível porque ela é uma reconstrução da teoria linguística alinhada com a recente evolução da Ciência Cognitiva.

V. Restrições da Neurociência Cognitiva

            A Neurociência Cognitiva procura explicar a cognição como uma função do cérebro. Ela é uma ponte para a interface entre psicologia e biologia. O problema corresponde à teoria cognitiva em um nível psicológico com teoria de rede neural em um nível biológico. Existem consideráveis evidências apoiando a hipótese de trabalho que cognição (em um nível psicológico) é fundamentado no sistema sensório motor (em um nível biológico). As evidências são de três tipos:

·        Restrições soft: validou modelos da estrutura cognitiva para a ciência cognitiva, especialmente linguística cognitiva.

·        Restrições hard: identificação de mecanismos e arquiteturas neurais específicas suficientes para apoiar a cognição e memória.

·        Restrições evolutivas: uma descrição plausível de como o cérebro pode ter evoluído para apoiar a cognição.

            Alguns comentários ajudarão a compreender essas questões.

            A Biologia nos diz que o cérebro evoluiu adaptando-se para permitir navegação visando procurar comida e responder a ameaças. Percepção e ação estão certamente fundamentados em estruturas cerebrais identificáveis do sistema sensório-motor. Porém, nenhuma estrutura cerebral comparável especializada para a cognição foi identificada. Isso sugere fortemente que a cognição também é fundamentada no sistema sensório-motor. A principal questão é então: quais adaptações e extensões do sistema sensório-motor são necessárias para apoiar a cognição?

            Sustento que a introspecção, apesar de sua péssima reputação científica é uma fonte crucial de informação sobre a cognição que foi sistematicamente explorada por filósofos, linguistas e matemáticos por anos. Como Kant foi o primeiro a perceber e Lakoff recentemente elaborou [20], a própria estrutura da matemática é conformada por restrições hard sobre a maneira como pensamos. A maior conclusão é que conceitos geométricos (fundamentados no sistema sensório-motor) são a fonte principal de estruturas relacionais em sistemas matemáticos.

            Estou geralmente de acordo como o neo-kantiano Mark Johnson sobre a cognição [21] que se baseia em restrições soft da Linguística Cognitiva. Mas ele necessariamente é apoiado pela reconciliação com restrições hard da neurociência sensório-motor. Isso define uma direção promissora para a pesquisa em neurociência cognitiva. Deixe-me reiterar minha opinião [6] que o programa de pesquisa de Stephen Grossberg promove um ótimo recurso teórico para segui-lo.

VI. Sistema, Modelo & Teoria; Estrutura & Morfismo

            Os termos “sistema” e “modelo” têm sido onipresentes na ciência e engenharia desde metade do século vinte. Esses termos são usados principalmente de maneira informal e seus significados são bastante variáveis. Mas para o objetivo da Teoria da Modelagem precisamos defini-los tão claramente quanto possível. Sem duplicar minha longa discussão sobre esse assunto já feita anteriormente [7-10], deixe-me reiterar alguns pontos-chaves visando preparar uma conexão com a teoria cognitiva da próxima seção.

            Defino um SISTEMA como um conjunto de objetos relacionados. Os sistemas podem ser de quaisquer tipos dependendo do tipo de objeto. Um sistema em si é um objeto, e os objetos dos quais ele é composto podem ser sistemas. Em um sistema conceitual os objetos são conceitos. Em um sistema material os objetos são coisas materiais. A menos que seja indicado o contrário, assumiremos que os sistemas sobre os quais estaremos falando são sistemas materiais. Um sistema material pode ser classificado como físico, químico ou biológico, dependendo das relações e propriedades atribuídas aos objetos.

            A ESTRUTURA de um sistema é definida como o conjunto de relações entre objetos no sistema. Isto inclui a relação de “pertence a”, que especifica a COMPOSIÇÃO, o conjunto de objetos pertencentes ao sistema. Uma conclusão universal da ciência é que todo sistema material possui geometria, estrutura causal e temporal, e nenhuma outra propriedade (metafísica) é necessária para dar conta de seu comportamento. De acordo com a Teoria da Modelagem, a ciência vem a conhecer objetos no mundo real não pela observação direta, mas pela construção de modelos conceituais para interpretar as observações e representar os objetos na mente. Esse preceito epistemológico é chamado de Realismo Construtivo pelo filósofo Ronald Giere.

            Defino um MODELO conceitual como uma representação da estrutura em um sistema material, o qual pode ser real ou imaginário. Os tipos possíveis de estruturas são resumidos no Quadro 3. Tenho usado esta definição de modelo por um longo tempo, e ainda não encontrei um modelo em qualquer parte da ciência que não possa ser expresso nesses termos.

Quadro 3. Um modelo conceitual é definido pela especificação de cinco tipos de estrutura.

(a) Estrutura Sistêmica: ·         Composição (partes internas (objetos) no sistema). ·         Ambiente (agentes externos ligados ao sistema). ·         Conexões (links externos e internos). (b) Estrutura Geométrica: ·         Posição com relação a um quadro de referência (externo). ·         Configuração (relações geométricas entre as partes). (c) Estrutura do Objeto: ·         Propriedades intrínsecas das partes. (d) Estrutura de Interação: ·         Propriedades das ligações (causais). (e) Estrutura Temporal (evento): ·         Mudanças temporais na estrutura do sistema.

            Modelos são de muitos tipos, dependendo de seus objetivos. Todos os modelos são idealizações, representando somente a estrutura que é relevante ao propósito, não necessariamente incluindo todos os tipos de estruturas no Quadro 3. O tipo prototípico de modelo é um mapa. Ele tem o objetivo principal de especificar a estrutura geométrica (relações entre lugares), embora ele também especifique objetos em várias localizações. Mapas podem ser estendidos para representar o movimento de um objeto por um caminho no mapa. Chamo tal modelo de mapa de movimento. Mapas de movimento podem ser confundidos com gráficos de movimento, embora este ponto raramente é feito em cursos de física ou de matemática. Na teoria da relatividade, mapas e gráficos de movimento são combinados em um mapa de espaço-tempo singular para representar de forma integrada estrutura de evento espaço-temporal.

            Um modelo matemático representa a estrutura de um sistema por meio de variáveis quantitativas de dois tipos: variáveis de estado, especificando composição, geometria e propriedades do objeto; variáveis de interação, especificando ligações entre as partes e o ambiente [6]. Um modelo processo representa a estrutura temporal como mudança das variáveis de estado. Há dois tipos. Um modelo descritivo representando a mudança como função explícita do tempo. Um modelo dinâmico especificando equações de transformações determinadas por leis de interação. Leis de interação expressam variáveis de interação como funções de variáveis de estado.

            Uma TEORIA científica é definida por um sistema de princípios gerais (ou Leis) especificando uma classe de variáveis de estado, interações e dinâmicas (modos de transformação) [6, 7]. A prática científica é governada por dois tipos de leis:

I.       Estatutos: Leis gerais definindo o domínio e estrutura da Teoria (tais como as Leis de Newton e equações de Maxwell).

II.    Ordenanças: Leis específicas definindo modelos (tais como as leis de Galileu da queda livre e lei de Snell).

            O conteúdo de uma teoria científica é um conjunto de modelos validados. O estatuto de uma teoria pode ser validado somente indiretamente pela validação dos modelos.

            Leis definindo estado de variáveis estão intimamente relacionadas aos Princípios de Medições (também chamada regras de correspondência ou definições operacionais) para avaliar valores medidos para estados de um sistema. Um modelo é validado de acordo com o grau que o valor medido (dados) corresponde aos valores preditos pelo modelo. A classe do sistema e alcance das variáveis que correspondem ao modelo é chamado de domínio de validade. O domínio de validade para a teoria é a união dos domínios de validade para seus modelos.

Figura 2. Três tipos de analogias.

            Observações e medidas empíricas determinam uma analogia entre um dado modelo e seu referente (um sistema). Chamo isso de analogia referencial. Uma analogia é definida como um mapeamento da estrutura de um domínio (fonte) para outro (alvo). O mapeamento é sempre parcial, o que significa que alguma estrutura deixa de ser mapeada (para uma visão alternativa de analogia ver [16]). Analogia é ubíquo em ciência, mas muitas vezes passa desapercebida. Diversos tipos diferentes são ilustrados nas figuras 2 & 3.

Figura 3. Equivalência material.

            Analogias conceituais entre modelos em domínios diferentes são comuns na ciência e frequentemente possuem um papel generativo na pesquisa. Maxwell, por exemplo, explorou explicitamente analogias elétrico-mecânicas. Uma analogia especifica tanto diferenças quanto similaridades entre origem e fonte. Por exemplo, modelos similares para propagação de onda de luz, som e água suprimem diferenças confusas, tais como o papel de um meio subjacente. Tais diferenças ainda são problemas tanto na pesquisa científica quanto para a aprendizagem dos estudantes.

            Uma analogia material refere a estrutura em um sistema ou processo material distinto; por exemplo, similaridade geométrica de um carro real para o modelo em escala do carro. Um caso importante que muitas vezes passa desapercebido, porque é sutil e comum, é a equivalência material de dois objetos ou sistemas materiais, pelo que eles são julgados serem os mesmos ou idênticos. Chamo isso de analogia indutiva, porque equivale a combinar objetos em um mesmo modelo (Fig. 3). Argumento que o processo de equivalência fundamente inferência indutiva clássica, em que eventos repetitivos são atribuídos a um mecanismo singular.

            Outro tipo de analogia que merece ser mencionada, porque desempenha um papel cada vez mais central na ciência, é a analogia entre modelos conceituais e modelos computacionais. A formalização da matemática tem tornado possível embutir cada vez mais detalhes na estrutura do modelo conceitual usando programas de computador, os quais, rodando em modo de simulação, podem emular o comportamento de sistemas materiais com bastante precisão. Cada vez mais, computadores realizam a função empírica de modelos correspondentes sem a intervenção humana. Contudo, há uma diferença essencial entre modelos computacionais e modelos conceituais, que discutiremos na próxima seção.

            Considerando como múltiplo o papel essencial da analogia, recomendo formalizar o conceito de analogia na ciência com o termo técnico MORFISMO. Em matemática, um morfismo é um mapeamento preservando a estrutura: então os temos homomorfismo (preserva a estrutura algébrica) e heteromorfismo (preserva a estrutura topológica). Noções alternativas de analogia são discutidas em [16].

            A caracterização da ciência feita acima a partir da Teoria da Modelagem foi dada à luz de profundas questões epistemológicas debatidas longamente por filósofos e cientistas:

·         Em que sentido a ciência pode reivindicar conhecimento objetivo sobre o mundo material?

·         Em que grau é observado a estrutura inerente ao mundo material e independente do observador?

·         O que determina as categorias de estruturas para modelos conceituais no Quadro 3?

Com relação à última questão, concordo com Lakoff e Johnson [18, 19, 21] que essas são categorias básicas da cognição fundamentadas no sistema sensório-motor humano. Isso sugere que respostas para nossas questões epistemológicas dependem de nossa teoria da cognição, o que veremos agora.

VII. Estrutura da Modelagem da Cognição

            Se a cognição em ciência é uma extensão do senso comum, então a estrutura dos modelos na ciência deve refletir a estrutura da cognição em geral. Seguindo essa hipótese descrevo uma Teoria da Modelagem da Cognição. A teoria inicia com a distinção crucial entre modelos mentais e modelos conceituais (Fig. 04). Modelos mentais são construções privadas na mente de um indivíduo. Eles podem ser convertidos a modelos conceituais pela codificação da estrutura do modelo em símbolos que ativam modelos mentais dos indivíduos e correspondem a modelos mentais em outras mentes. Assim como a Teoria da Modelagem caracteriza a ciência como construção e uso de modelos conceituais compartilhados, proponho caracterizar a cognição como construção e manipulação de modelos mentais privados.

Figura 4. Modelos mentais vs. Modelos conceituais.

            Como mencionado anteriormente, a ideia que modelos mentais são centrais na cognição é comum na ciência cognitiva. Contudo, ele ainda tem a cristalizar na teoria comumente aceita, então não posso esperar que outros pesquisadores aprovem a maneira como eu interpreto seus resultados como suporte à Teoria da Modelagem. O mais vasto e coerente corpo de evidências vem da linguística cognitiva, apoiando a seguinte tese revolucionária: A linguagem não se refere diretamente ao mundo, mas particularmente a modelos mentais e seus componentes! Palavras servem para ativar, elaborar ou modificar modelos mentais, como na compreensão de uma narrativa.

            Esta tese rejeita toda versão prévia da semântica, que localiza os referentes da linguagem fora da mente, em favor da semântica cognitiva, que localiza os referentes dentro da mente. Vejo as evidências apoiando a semântica cognitiva como esmagadora [17, 24], mas devo admitir que alguns linguistas não estão convencidos, e muitas questões de pesquisa ainda permanecem.

            Meu objetivo é assimilar considerações da linguística cognitiva na Teoria da Modelagem e avaliar implicações para a cognição em ciências e matemática. O primeiro passo é detalhar nossa definição de conceito. Inspirado pela noção de “construção” na linguística cognitiva [25]. Defino um conceito como um par {forma, significado} representado por um símbolo (ou construção simbólica), como esquematizado na Figura 05.

Figura 5. Tríade Conceitual.

            O significado é dado por um modelo mental ou esquema chamado de protótipo, e a forma é a estrutura ou subestrutura do protótipo. Isso é similar à noção clássica que o significado de um símbolo por sua intenção e extensão, mas as diferenças são profundas.

            Por exemplo, o protótipo para o conceito de triângulo retângulo é uma imagem mental do triângulo, e sua forma é um sistema de relações entre seus vértices e lados constituintes. O conceito de hipotenusa tem o mesmo protótipo, mas sua forma é uma subestrutura do triângulo. Esse tipo de subestrutura é chamada profiling na linguística cognitiva. Note que diferenças individuais podem concordar com o significado e uso de um conceito mesmo se suas imagens mentais forem diferentes. Dizemos que suas imagens mentais são homólogas.

            Na minha definição de conceito, a forma é derivada do protótipo. Suposto o contrário. Chamo isso de conceito formal. Esse tipo de conceito é comum em ciência e matemática. Por exemplo, o conceito de comprimento é determinado por um sistema de regras e procedimentos para mensuração que determina a estrutura do conceito. Para compreender o conceito, cada pessoa deve embutir a estrutura em um modelo mental próprio. Evidentemente, conceitos formais podem ser derivados de “conceitos informais” pela explicação da estrutura implícita em um protótipo. Considero que esse processo de explicação desempenha um importante papel no desenvolvimento da linguagem matemática.

            Como uma percepção, um conceito é um todo irredutível, com estrutura gestáltica embutida em seu protótipo. Enquanto que uma percepção é ativada por estímulos sensoriais, um conceito é ativado por estímulos simbólicos. Conceitos podem ser combinados para produzir conceitos mais elaborados, recomendo o termo novo construto para indicar que ele é composto de conceitos irredutíveis, embora sua totalidade seja a “soma” de suas partes.

            Podemos aplicar a definição de “conceito” para refinar a noção de “modelo conceitual”, que foi aplicado informalmente na seção anterior. Um modelo conceitual é agora definido como um conceito (ou construto) com a condição adicional que a estrutura de seu referente é codificada em sua representação por uma construção simbólica, ou figura, ou alguma outra inscrição. Como um conceito, um modelo conceitual é caracterizado por uma tríade, como descrito na figura 6.

Figura 6. Modelo conceitual.

            Para enfatizar o ponto principal: os símbolos para conceitos referem a modelos mentais (ou características do mesmo) que podem ou não corresponder a objetos materiais (ver Fig. 06). Embora todo modelo conceitual refira-se a um modelo mental, o inverso não é verdadeiro. O cérebro cria todo tipo de construção mental, incluindo modelos mentais, para os quais não há palavras para expressar. Refiro-me a tais construções como ideias ou intuições. Ideias e intuições são elevadas a conceitos pela criação simbólica para representa-los!

            Minha definição de “conceito” e “modelo conceitual” é nova, então outros podem melhora-las. Mas acredito que incorporam as ideias essenciais. Resta agora elaborar o conceito de modelo mental a partir de suportes empíricos.

            As muitas ideias de modelo mental provêm da introspecção. Então aqui é um bom lugar para começar. Porém, a introspecção é notoriamente um guia não confiável, mesmo para nosso próprio pensamento, em parte porque a maioria dele é inconscientemente processado pelo cérebro. Consequentemente, como a ponta de um iceberg, somente parte de um modelo mental é aberta à inspeção direta. Pesquisadores desenvolveram recursos para sondar mais profundamente.

            Todo mundo possui imaginação, a habilidade para invocar uma imagem de uma situação a partir de uma descrição ou memória. O que podemos dizer sobre os modelos mentais? Algumas pessoas descrevem imagens que são como pinturas, similar a imagens visuais. No entanto, outras não têm essa habilidade e pessoas cegas são perfeitamente capazes de imaginação. Pesquisas clássicas neste domínio encontram suporte para argumentar que imagens mentais são percepções internalizadas, mas não sem críticas.

            Barbara Tversky e colaboradores [26] tem testado essa visão clássica pela comparação de modelos mentais alternativos. Entre outras coisas, eles comparam o julgamento individual de uma cena visual gerada a partir da narrativa com julgamento gerado pela observação direta e encontram que são funcionalmente equivalentes. A diferença principal é que percepções tem um ponto fixo da visão enquanto modelos mentais permitem mudar o ponto fixo da visão. Além disso, modelos mentais espaciais são mais esquemáticos e categóricos que imagens, capturando algumas características do objeto, mas não tudo, e incorporando informações sobre o mundo que não é puramente perceptivo. As maiores características dos modelos mentais espaciais estão resumidas no Quadro 4. A melhor disposição para informações é um modelo espacial de trabalho, onde cada objeto tem um quadro egocêntrico consistindo de extensões mentais tridimensionais.

Quadro 4. Modelos mentais espaciais.

·         São esquemáticos, representam apenas algumas características. ·         São estruturados, consistindo de elementos e relações. ·         Elementos são normalmente objetos (ou coisas). ·         As propriedades dos objetos são idealizadas (pontos, linhas ou planos). ·         Modelos objeto são sempre colocados no plano de fundo (Contexto ou quadro). ·         Objetos individuais são modelados separadamente a partir de um quadro, então eles podem mover-se ao redor de um quadro.

           

A conclusão geral é que modelos mentais representam estados do mundo como concebido, não percebido. Conhecer uma coisa é formar um modelo mental dela. Os detalhes no Quadro 4 são abundantemente apoiados por outras linhas de pesquisa, especialmente a linguística cognitiva, para a qual vamos nos dirigir agora.

            Na seção anterior argumentamos que os conceitos de estrutura e morfismo permitem uma base para práticas em ciências com modelos e modelagem (e, como veremos posteriormente, também para matemática). Meu objetivo aqui é ligar tais conceitos à teoria cognitiva e evidenciar reflexões de Lakoff e seus colaboradores [17-24], especialmente para servir como um guia para aqueles que desejarem um insight neste domínio. Para essa finalidade tenho alterado um pouco a terminologia de Lakoff, mas espero não deturpar sua mensagem.

            Considero que todo raciocínio é inferência da estrutura, então procuro identificar estruturas cognitivas básicas e compreender como elas geram a poderosa estrutura conceitual da ciência e matemática. Os seguintes temas gerais estão envolvidos:

·         Conceitos básicos são primitivos cognitivos irredutíveis fundamentados na experiência sensório motora.

·         Todos os outros domínios conceituais são estruturados por uma extensão metafórica provenientes dos domínios básicos.

·         A cognição é organizada por quadros semânticos que promovem a estrutura de base para distintos domínios conceituais e modelagem no espaço mental.

Somente uma breve orientação sobre cada tema vai ser dada aqui.

            Metáforas são morfismos em que a estrutura em um domínio fonte é projetada no domínio alvo para prove-lo com a estrutura. O processo inicia com metáforas fundamentais, que projetam primitivos estruturais dos conceitos básicos. Um vasto catálogo de metáforas foi compilado e analisado para permitir a hipótese sólida que toda cognição superior é estruturada dessa maneira.

            Quadros semânticos permitem uma visão geral da estrutura conceitual ligando sistemas de conceitos relacionados (incluindo as palavras que os expressam). Na matemática, os quadros podem ser sistema conceituais gerais tais como aritmética e geometria ou subsistemas destes. A cognição do dia-a-dia é estruturada por uma grande variedade de quadros, tal como o clássico quadro restaurante que promove um contexto para modelagem que acontece em um restaurante. Um quadro semântico para uma sequência temporal de eventos, tal como um jantar (encomendar, comer e pagar por uma refeição) é chamado um script.

            Fauconnier foi o cunhador do termo espaço mental para a arena na qual ocorre a modelagem mental [23, 24]. Especialmente significante é o conceito de mistura, segundo o qual quadros distintos são misturados ao criar novos quadros. A descrição do processo cognitivo em tal termo está em sua infância, mas é muito promissor.

            Como fundamento cognitivo para ciência e matemática, estamos interessados nos conceitos básicos de espaço, tempo e causalidade. Seus protótipos normalmente são chamados de esquemas, compõem as estruturas primitivas pelas quais todos os raciocínios são gerados. Há dois tipos, chamados esquemas imagens e esquemas aspectos.

            Esquemas imagens possibilitam a estrutura comum para conceitos espaciais e percepções espaciais, assim ligamos linguagem com percepção espacial. As linguagens do mundo usam um número relativamente pequeno de esquemas imagens, mas elas incorporam conceitos espaciais de diferentes maneiras – no Inglês principalmente com preposições. Algumas preposições, tais como in/out e from/to, expressam conceitos topológicos, enquanto outros, tais como up/down e left/right, expressam conceitos direcionais.

            O esquema para cada conceito é um conjunto estruturado em que as partes não têm significância, exceto em relação ao todo. Por exemplo, o esquema container (Fig. 7) consiste de um limite que separa espaço interior do exterior. A preposição in contorna o interior, enquanto out contorna o exterior.

Figura 7. Lógica do Esquema Container.

O Esquema Container possibilita a estrutura para o conceito geral da contenção e espaço. A noção alternativa do espaço como um conjunto de pontos (localizações) só foi inventada no século XIX. O contraste entre esses dois conceitos de espaço tem gerado tensão na fundamentação da matemática que ainda não foi resolvida para satisfação de todos.

            Pela projeção metafórica, o esquema container estrutura muitos domínios conceituais. Em particular, como Lakoff explicou, as metáforas categorias-containers fornecem lógica proposicional com fundamentação cognitiva na lógica inerente do esquema container (ilustrado na figura 7). Genericamente, a lógica container é a lógica da estrutura parte-todo que tem subjacente os conceitos de conjunto e sistema (Quadro 4).

            Esquemas aspectuais estruturam eventos e ações. O conceito aspectual prototípico é o verbo, do qual o leitor conhece muitos exemplos. O mais fundamental esquema aspectual é o básico esquema para movimento (Fig. 09), chamado esquema fonte-caminho-objetivo pelos linguistas, que usam o termo trajector como o termo padrão para qualquer objeto se movendo ao longo de um caminho. Este esquema tem sua própria lógica e fornece estrutura cognitiva para os conceitos de continuidade e ordem linear em matemática. De fato, Newton concebeu as curvas como traçados de pontos em movimento, e sua primeira lei do movimento permite fundamentação para o conceito de tempo sobre o mais básico conceito de movimento [7]. Na verdade, o conceito de Greek de uma curva como um lócus de pontos sugere a ação de desenhar a curva. Na física, o conceito de movimento é integrado ao conceito de espaço e a geometria do movimento é chamada Cinemática.

Figura 8. Esquema Fonte-Caminho-Objetivo

            Embora o esquema da figura 8 seja classificado como aspectual na linguística cognitiva, evidências da neurociência cognitiva e psicologia perceptual sugerem que ela deveria ser considerada como um esquema imagem. É um equívoco pensar que o processamento visual é limitado a imagens estáticas. O movimento no córtex visual é processado concorrentemente com a forma. Qualquer criança pode traçar o caminho de uma bola arremessada e o trajeto é retido mentalmente como um tipo de pós-imagem, embora, como a maioria do processamento visual, ele continua abaixo do radar da consciência.

            Evidentemente, o conceito básico de estrutura e quantidade vem da geometria. Assim, o conceito geral de estrutura é derivado da geometria pela projeção metafórica a praticamente todo domínio conceitual. Um exemplo óbvio é o conceito geral de espaço estatal, onde estados são identificados com localizações.

            Categorias são fundamentais para o pensamento humano, pois elas permitem distinções entre objetos e eventos. Um dos pilares da linguística cognitiva foi a descoberta de Eleanor Rosch que Categorias Naturais são determinadas por protótipos mentais. Isso deveria ser contrastado com o conceito clássico de uma Categoria Formal para que a associação seja determinada por um conjunto de propriedades, uma generalização da metáfora container. A noção de categoria como container não abrange as diversas evidências empíricas sobre o uso da linguagem natural.

            Categorias naturais (normalmente chamadas Categorias Radiais) foram discutidas grandemente por Lakoff [18], então não entraremos em detalhes aqui. O termo “radial” expressa o fato que categorias naturais tem uma estrutura radial de categorias subordinadas e superordenadas com uma categoria central para que a associação seja determinada por correspondente a um protótipo. O processo de correspondência considera o limite na fronteira da categoria e classifica sua estrutura com associações determinadas por correspondência parcial qualificado por limites, tais como “parece um pássaro, mas...”.

            A conclusão é que a estrutura da categoria natural é derivada de protótipos enquanto que para categorias formais a estrutura é imposta pelas convenções. Como já notei para conceitos formais, categorias formais desempenham papel essencial na criação de conhecimento objetivo em ciências e matemática. Porém, o papel das categorias radiais como estruturador de conhecimento científico tem recebido pouca atenção [27].

            A maioria do raciocínio humano é inferência a partir de modelos mentais. Podemos distinguir vários tipos de raciocínios baseados em modelos:

·         Abdutivo, completa ou estende um modelo, frequentemente guiado por um quadro semântico onde o modelo é embutido.

·         Dedutivo, extrai a substrutura de um modelo.

·         Indutivo, combina modelos por experiência.

·         Analógico, interpreta ou compara modelos.

·         Metafórico, introduz estrutura em um modelo.

·         Síntese, constrói um modelo, possivelmente por analogia ou misturando outros modelos.

·         Análise, recorta ou elabora a estrutura implícita em um modelo.

A justificativa de raciocínio baseado em modelo requer tradução de modelos mentais para inferência a partir de modelos conceituais que podem ser compartilhados publicamente, como os modelos científicos na seção anterior.

Ao contrário, o raciocínio formal é computacional, usa axiomas, produz regras e outros procedimentos. Ele é a fundamentação para prova rigorosa na matemática e lógica formal. Contudo, ouso dizer que matemática e qualquer raciocínio lógico na maioria das vezes provém de modelos mentais. O raciocínio baseado em modelo é mais geral e poderoso que lógica proposicional, ele integra múltiplas representações da informação (proposições, mapas, diagramas, equações) em uma estrutura coerente de modelos mentais. Regras e procedimentos são centrais para o conceito formal de inferência, mas eles podem ser entendidos como prescrições para operações sobre modelos mentais bem como sobre símbolos.

Temos visto como a Teoria da Modelagem fornece uma base teórica para a ciência cognitiva que abrange conclusões da linguística cognitiva. Assim ela fornece meios para respostas científicas para questões filosóficas de longa data, tais como: Qual é o papel da linguagem na cognição? Ela é meramente uma expressão do pensamento e um veículo para comunicação? Ou ela determina a estrutura do pensamento? Como para a maioria das questões filosóficas profundas, a resposta é “sim e não!”. Sim, a estrutura básica do pensamento envolve em grande parte o sistema sensório-motor. Não, há mais a dizer. A estrutura dos modelos mentais, possivelmente todos os esquemas aspectual e imagem, são formados pela experiência com ferramentas, tanto linguísticas como físicas. Na seção seguinte consideraremos evidências disso em física e matemática.

VIII. Conceitos de força na ciência e senso comum

            Desde o início, a Teoria da Modelagem foi desenvolvida com um olhar na melhoria do ensino de ciências e matemática, então temos que olhar para esse domínio para a validação da teoria. Na seção II relatei o sucesso deslumbrante da pesquisa inicial de Malcolm Wells com a Teoria da Modelagem e subsequente criação do Projeto Instrução por Modelagem (Modeling Instruction Project). Meu objetivo nesta seção é, primeiramente descrever qual a contribuição inicial da Teoria da Modelagem para esse sucesso, segundo, propor novas explicações baseado na corrente versão da teoria. Isso abre muitas oportunidades para pesquisas futuras.

            A física escolar tem a reputação de ser incrivelmente difícil. O fato é que poucos têm o talento para compreende-la. Contudo, a PER tem chegado a diferentes explicações pela investigação do senso comum (SC) para os conceitos de força e movimento em comparação aos conceitos newtonianos da física. As conclusões seguintes são agora amplamente aceitas:

·         Os conceitos do SC dominam o pensamento do estudante em física introdutória!

·         O ensino convencional é na maioria das vezes totalmente ineficaz para altera-los!

·         Este resultado é independente da qualificação acadêmica do professor, da experiência docente e método de ensino (a menos que seja baseado na PER).

Apoio quantitativo definitivo para essas conclusões foi possível pelo desenvolvimento do Inventário do Conceito de Força- FCI (Force Concept Inventory,). Resultados iniciais [3, 5] foram replicados várias vezes (por todos os Estados Unidos e em outros lugares), então a conclusão é universal e somente os desinformados são céticos.

            As implicações para o ensino convencional não poderiam ser mais sérias! O pensamento dos estudantes fica longe do Newtoniano quando eles começam a aprender física e dificilmente mudam quando finalizam o curso básico (<15%). Consequentemente, os estudantes interpretam mal a maioria das coisas que leem, ouvem e veem ao longo do curso. Evidências dessa catástrofe sempre foram vistas pelos professores, mas eles não tinham base conceitual para analisa-las. A reclamação de um estudante serve de testemunho: “Eu entendo a teoria, eu simplesmente não consigo resolver os problemas”. Em meus anos iniciais de professor admitia tais reclamações como infundadas, porque habilidades para resolver problemas foi reconhecido como um teste definitivo de compreensão. Agora eu vejo que o estudante estava certo. Ele compreendia a teoria – mas de maneira equivocada! Sua teoria envolvia seu senso comum no mundo newtoniano; ele aprendia o jargão ao invés dos conceitos newtonianos.

            Uma vez que os alunos são indiferentes à incompatibilidade conceitual, eles não podem processar seus próprios equívocos na resolução de problemas. Consequentemente, eles recorrem à aprendizagem mecânica e dependem de seus professores para as respostas. Um sinal claro disso nas aulas de física é quando os estudantes pedem para o professor demonstrar a resolução de muitos problemas. Eles confundem a memorização da solução do problema com aprender a como resolver problemas. Isso funciona até certo ponto, mas falha repetidamente levando à frustração e humilhação, insegurança e finalmente o estudante desliga-se!

            Felizmente, esse não é o fim da história. A Figura 10 resume dados de um exemplar nacional de 7500 estudantes de física do ensino médio envolvidos no Modeling Instruction Projec durante os anos de 1995 a 1998. A média dos pontos para o pré-teste do FCI foi cerca de 26%, ligeiramente acima do nível de suposição aleatória de 20%, e bem abaixo do escore de 60% que, por razões empíricas, pode ser considerado como um limiar na compreensão de conceitos em mecânica.

            A Figura 10 mostra que o ensino tradicional no nível médio (leitura, demonstração e atividades de laboratório padronizadas) tem pouco impacto sobre as crenças dos estudantes, com desempenho no pós-teste do FCI de 42%, ainda muito abaixo do limiar newtoniano. Este é um dado das salas de aulas dos professores antes de participarem do Modeling Instruction Projet.

Figura 9. Escores médio do FCI para diferentes tipos de ensino.

            Professores participantes tiveram três semanas intensas de workshop de modelagem que os inseriu na pedagogia da modelagem e os familiarizou com material curricular planejado especialmente para isso. Quase todos os professores ficaram entusiasmados e começaram a adotar a abordagem imediatamente. Depois de seu primeiro ano de ensino usando a nova abordagem, o resultado do pós-teste para os estudantes desses professores modeladores novatos é cerca de 10% mais alto, como mostra a Figura 10 para 3394 alunos de 66 professores. Alunos de professores modeladores experientes foram bem melhores.

            Para onze professores modeladores experientes com dois anos no projeto, o resultado dos pós-testes de seus 647 estudantes foi de 69%. Seus ganhos médios foram maiores que o dobro do desvio padrão mais alto do ensino tradicional no pré-teste. É comparável à média obtida pelo primeiro modelador profissional, Malcolm Wells.

            As médias de 29%/69% do resultado do pré-teste/pós-teste para os modeladores experientes devem ser comparados com as médias de 52%/63% em física de uma das maiores universidades [5]. Temos muitos exemplos de modeladores conseguiram médias nos pós-testes de 80 a 90%. Por outro lado, professores modeladores iniciantes dificilmente conseguem ganhos significativos se comparados aos ganhos de professores bem preparados depois de dois anos no projeto.

            Os resultados do FCI são bem mais informativos que os resultados de um teste comum. Para saber por quê, precisamos examinar a estrutura do teste e a significância das questões. As questões são baseadas em uma taxionomia detalhada dos conceitos do senso comum (CS) para força e movimento derivados de pesquisas. A taxonomia é estrutura por meio de uma análise sistemática do conceito newtoniano de força em seis dimensões conceituais fundamentais. Cada questão requer uma escolha forçada entre alternativos de conceito newtoniano e senso comum para melhor explicação de uma situação física comum e um conjunto de questões para sondar sistematicamente todas as dimensões do conceito de força. As questões são planejadas para serem significativas a leitores sem conhecimento aprofundado em física.

            Para um físico, a questão correta para cada questão é tão óbvia que o teste como um todo é trivial. Por outro lado, praticamente todos os conceitos do senso comum sobre força e movimento são incompatíveis com a teoria newtoniana. Consequentemente, todas as questões têm alto conteúdo informacional. Cada engano é um indicador seguro de pensamento não-newtoniano, como qualquer professor cético pode verificar entrevistando os estudantes que se equivocaram.

            Considerando que o FCI possibilita uma cobertura abrangente de conceitos newtonianos, os péssimos resultados do FCI para o ensino tradicional implicam uma falha catastrófica no pensamento do estudante! Mas estudantes do ensino médio e metade dos universitários nem sequer alcançam o limiar de 60%. Abaixo do limiar os estudantes não possuem aprendizagem suficiente sobre conceitos newtonianos para raciocinar de forma autônoma. Não admira que não consigam resolver problemas.

            Por que o ensino tradicional é tão ineficaz? Pesquisas têm dado uma resposta clara. Para lidar com experiência ordinária cada um de nós deve desenvolver um sistema organizado de intuições de como o mundo funciona. Que promovem fundamento intuitivo para crenças do senso comum sobre força e movimento que são incorporadas na linguagem natural e estudada na linguística e PER. Pesquisas mostram que as crenças comuns são universais, no sentido de que elas são iguais para todos nós, embora há algumas variações entre indivíduos devido suas culturas. Elas também são bastantes robustas e são expressas com confiança como verdades óbvias da experiência.

            Paradoxalmente, físicos consideram a maioria das crenças comuns sobre força e movimento como obviamente falsas. Do ponto de vista da Teoria Newtoniana, elas são simplesmente misconceptions sobre o modo como o mundo é verdadeiramente! Contudo, são mais acuradas, bem como mais respeitosas, para considera-las como hipóteses alternativas. De fato, as primeiras ideias pré-newtonianas e suas “misconceptions” foram claramente articuladas e vigorosamente defendidas por grandes intelectuais – Aristóteles, Jean Buridan, Galileo e até mesmo Newton (antes de escrever os Princípia) [4]. Aqui podemos ver um outro lado do paradoxo:

            Para a maioria dos físicos de hoje, a física newtoniana descreve a estrutura óbvia da experiência perceptiva, em contraste com a visão quântica sutil do mundo. Ainda não encontrei um único físico que reconheça possuir crenças do senso comum, embora ocasionalmente um deles recorde com um súbito haa! buscando no campo das leis de Newton. Essa amnésia retrógrada coletiva testifica um fato importante sobre memória e cognição: recordações são reconstruídas a partir de estruturas cognitivas atuais. Assim, os físicos não podem relembrar suas crenças comuns por que o pensamento é filtrado por conceitos newtonianos atuais.

            Em conclusão, o cerne do problema com o ensino tradicional é que ele não reconhece as crenças comuns como legítimas, muitos as investigam com argumento e prova. Em contraste, a Instrução por Modelagem é deliberadamente planejada para resolver problemas com:

·         Atividades de Modelagem que sistematicamente engaja os estudantes no desenvolvimento de modelos e promovendo suas próprias explicações par fenômenos físicos básicos.

·         Discurso de Modelagem (centrado sobre representações visuais de modelos) para engajar os estudantes na articulação de suas explicações e compara-las com conceitos newtonianos.

·         Conceitos e ferramentas de Modelagem (tais como gráficos, diagramas e equações) para ajudar os estudantes a simplificar e melhorar seus modelos e explicações.

Os instrutores são equipados com uma taxionomia de conceitos do senso comum que os ajudam a reconhecer oportunidades para evoluir os conceitos dos estudantes por comparação com alternativas newtonianas e com evidências empíricas. Os instrutores sabem que os estudantes devem reconhecer e resolver discrepâncias por eles mesmos. Dizendo-lhes as respostas não funciona.

Com base em anos de experimentos com discurso de modelagem (especialmente nas salas de aula de Malcolm Wells) tenho aprendido a focar sobre três conceitos de senso comum listados no Quadro 5. Quando esses conceitos são adequadamente tratados, outras misconceptions em nossa extensa taxonomia [5] tendem a desaparecer automaticamente. Suas robustezes são indicadas nas discrepâncias observadas nos resultados do pós-teste (Quadro 5) do FCI de mais de mil estudantes universitários. Depois de completarem um primeiro curso em física básica e cálculo, a fração de estudantes que escolheram conceitos comuns alternativos sobre primeira, segunda e terceira lei de Newton foram 60%, 40% e 90% respectivamente. É claro, as leis de Newton não são nomeadas como tais no FCI. 80% dos estudantes já haviam estudado física no ensino médio e poderiam indicar as leis de Newton como slogans antes de iniciar a física universitária.

Quadro 5. Contraste do Conceito de Força

Newtoniano	Senso Comum	Discrepância no Pós-Teste
Primeira Lei                  ↔	“Movimento requer força” (Princípio do Impetus)	~60%
Segunda Lei                   ↔	“Força é ação” (Força não passiva)	~40%
Terceira Lei                   ↔	“Força é batalha” (Princípio da Dominança)	~90%

            Depois da execução do Projeto Instrução por Modelagem, aprendi sobre o trabalho de Lakoff sobre metáforas e sua relevância para compreensão dos conceitos comuns para força e movimento. Apresentei as ideias aos professores nos Workshops de Modelagem, mas não tenho evidência se melhoraram a pedagogia, que já era bem desenvolvida. Suponho que muito do novo insight foi ignorado, por que ele não foi posto no material impresso. Deixe-me agora recordar algumas análises dos três conceitos primários no Quadro 5.

            O Princípio do Impetus utiliza a metáfora do Objeto-como-Contêiner, em que o contêiner é preenchido com impetus que faz ele se mover. Depois que todo o ímpeto é usado o movimento cessa. Claro que os estudantes não conhecem o termo Impetus (que só será conhecido posteriormente); eles normalmente usam o termo energia. Estudantes ingênuos não discriminam entre energia e força. Como disse o próprio Newton antes do Princípia, eles têm que ser convencidos de que “uma partícula em movimento livre faz uma trajetória linear” é um estado natural que não requer uma força motriz (ou energia) para sustenta-lo. Isso não requer abandono da intuição do impetus (que é permanentemente retido no sistema sensório motor em qualquer caso), mas refaz a intuição com conceitos físicos de momento e inércia.

            O conceito prévio protótipo para força é ação humana sobre um objeto. Consequentemente, os estudantes não reconhecem restrições sobre os movimentos como bloqueios devido a forças de contato. “Eles simplesmente dão um caminho”. Os professores tentam ativar a intuição dos estudantes enfatizando que “força é um puxão ou um empurrão”, sem perceberem que uma aplicação desqualificada dessa metáfora exclui forças passivas. Além disso, nos livros textos notamos explicitamente que a universalidade da força é um princípio implícito da teoria newtoniana, que requer que o movimento seja influenciado somente por forças. Para chegar na universalidade da força por ele próprio, os estudantes precisam desenvolver intuição para reconhecer forças em qualquer instância ou contato físico. Como uma estratégia instrucional para chegar ao fim, Clemet e Clamp [28] engajaram estudantes na construção de uma série de “analogias ponte” para ligar, por exemplo, o caso problemático de uma pessoa pressionando uma mola ao caso não problemático de um livro em cima de uma mesa. Recomendo modificar sua abordagem para incluir a representação de um vetor comum da força normal em cada caso para codificar a equivalência simbólica (como na Fig. 03).

            Em situações que envolvem a terceira lei de Newton o lema “para cada ação há uma reação igual e oposta” evoca uma analogia inapropriada como um esforço entre “forças opostas”, de que segue que uma delas deve ser favorecida, “superando” a outra, em contradição à terceira lei de Newton. A dificuldade que os estudantes têm para resolver esse paradoxo é refletido no fato que as questões do FCI sobre a terceira lei são normalmente as últimas a serem compreendidas. DiSessa [29] faz uma análise perceptiva da dificuldade para avaliar a terceira lei.

            Tais percepções dentro do pensamento dos estudantes como descritas são insuficientes para promover uma transição para o pensamento newtoniano em sala de aula. A literatura é repleta com tentativas para caracterizar misconceptions específicas com sucesso parcial ou total. Então o que considerar para o sucesso singular da Instrução por Modelagem como medido pelo FCI (Fig. 9)? Como para qualquer desempenho experiente, planejamento detalhado e preparação é essencial para instrução nas aulas do ensino superior (as oficinas intensivas de Modelagem ajudam os professores com isso). Contudo, a Instrução por Modelagem é única no planejamento estratégico.

            Ao invés de dirigir-se às misconceptions dos estudantes diretamente, a Instrução por Modelagem cria um ambiente de atividades e discurso para estimular o pensamento reflexivo sobre fenômenos físicos que tendem a evocar suas misconceptions. O ambiente é estruturado com ênfase em modelos e modelagem com múltiplas representações (mapas, gráficos, diagramas, equações). Isso capacita os estudantes com ferramentas conceituais para compartilhar seus pensamentos e dar a eles acesso a conceitos newtonianos. Nesse ambiente, os estudantes são capazes de ajustar seus pensamentos para resolver discrepâncias dentro do sistema newtoniano, que gradualmente mudam por eles próprios. No lugar de aprendizagem de conceitos fragmentados, ocorre a aprendizagem de um sistema coerente de conceitos newtonianos. A construção de um modelo newtoniano requer uso coordenado de todos os conceitos newtonianos e somente isso revela a coerência do sistema newtoniano. A coerência não é tão óbvia a partir de um enunciado padrão de leis newtonianas. Acredito que a aprendizagem de conceitos newtonianos como um sistema coerente favorece um alto desempenho no FCI. Logicamente isso é somente uma condição suficiente para o alto escore, mas estimo que um escore alto provindo de compreensão fragmentada da física newtoniana é pouco provável. Desse modo, é melhor interpretar integralmente o escore do FCI como medida da compreensão coerentes da física newtoniana.

            Outro ponto importante merece ser mencionado aqui. Como temos notado, a Teoria da Modelagem informada por evidências empíricas da ciência cognitiva assegura que modelos mentais são sempre construídos dentro de um quadro semântico. Consequentemente, suponho que situações físicas (sem levar em consideração como elas são apresentadas) ativa um quadro de semântica newtoniana no espaço mental dos físicos. Penso que o ensino de física não seja bem-sucedido até que o mesmo seja verdade para os estudantes. É bem sabido que os estudantes tendem a deixar a ciência que eles aprenderam na sala de aula e reverter para o pensamento do censo comum em qualquer situação diária. Talvez reconhecendo isso como um problema de quadro semântico possa melhorar os resultados.

            Como tenho descrito, a Instrução por Modelagem não depende da compreensão detalhada de como o estudante pensa. De fato, tenho evitado suposições duvidosas sobre a cognição que possa interferir na aprendizagem. Contudo, agora acredito que os avanços na Teoria da Modelagem da cognição descrito na seção VII são suficientes para servir de guia confiável para pesquisa para promover melhoras na instrução pela incorporação de detalhes acerca da cognição. Deixe-me esboçar possibilidades com referências específicas para os conceitos de força e movimento.

            Conceitos misturados de força e causalidade têm sido amplamente estudados por linguistas cognitivos. Lakoff e Johnson [19] mostram que uma grande quantidade de conceitos de causalidade cai naturalmente dentro de uma categoria radial (“tipos de causalidade”) estruturados por um sistema de projeções metafóricas. O protótipo central desta categoria é dada pela metáfora da Força como Ação Humana, de acordo com nossa análise acima. A análise deles promove um quadro de trabalho organizacional para o corpo único da pesquisa linguística sobre causalidade. Essas pesquisas permitem insight valorosos dentro dos conceitos de senso comum de força e movimento que merece estudo cuidadoso. Porém, limitada como ela é para estudar a linguagem natural, a pesquisa linguística não revela diferença profunda no conceito de força de físicos. Para isso precisamos retornar à PER (Pesquisa Ensino de Física), em que a pesquisa mais completa e meticulosa é de Andy diSessa [29].

            Dentro do mesmo caminho que os linguistas têm amplas evidências para a existência de protótipos de esquemas e imagens, diSessa tem usado técnicas de intervenção para isolar e caracterizar primitivos conceituais uados pelos estudantes no raciocínio causal. Ele tem identificado uma família de “estruturas de conhecimento” irredutíveis que chamou de primitivos fenomenológicos ou p-prims. Em sua monografia sobre p-prims de 1993, ele encontrou evidências que seus p-prims são do mesmo gênero das imagens e esquemas aspectuais discutidos na seção anterior. Consequentemente, quero integra-lo sob o guarda-chuva da Teoria da Modelagem.

            Deixe-me iniciar com um exemplo muito importante, que diSessa chamou de p-prims da lei de Ohm, como ele explica: p-prims da lei de Ohm compreende “um agente que é o locus de um impetus que age contra a resistência para produzir um resultado.”

            Evidentemente esta estrutura intuitiva é abstraída da experiência de puxar objetos. Ela é uma importante elaboração da metáfora central da Força como Ação mencionada anteriormente – muito importante! – Porque essa estrutura é fundamental para o raciocínio qualitativo. A lógica do p-prims da lei de Ohm é uma proporção qualitativa:

Maior esforço → maior resultado

E a proporção inversa

Menor resistência → menor resultado

            A estrutura deste raciocínio é evocada para objetivos explanatórios em circunstâncias determinadas pela experiência.

            DiSessa identifica diversos p-prims e os cataloga em um conjunto que corresponde exatamente à taxonomia de conceitos comuns de força e movimento usadas na construção do FCI. Sua monografia deve ser consultada para mais detalhes e insights que não precisam ser repetidas aqui. No momento, vou comentar de forma geral sua análise.

            Concordando com Lakoff e Johnson, diSessa argumenta que a cognição causal é fundamentada em um sistema vagamente organizado de diversos esquemas simples derivados da experiência sensório motora. P-prims permitem uma fundamentação para nosso mecanismo (causal) de sentido intuitivo. Eles são os conceitos comuns equivalentes de leis físicas, usados para explicar, mas não explicáveis. Para sujeitos ingênuos, “esse é o modo de pensar”. Como esperado de sua presunção original na experiência, p-prims são marcados diretamente em situações sem confiança sobre a linguagem. DiSessa assegura que p-prims não são evidentes no sentido de que eles não são inseridos fortemente na linguagem. Há necessidade de melhorar as pesquisas sobre essa conexão sutil com a linguagem que diSessa não tem observado. Por exemplo, Lakoff nota que a preposição ativa e organiza esquemas para os conceitos de contato e apoio que certamente serão encontrados entre os p-prims.

            Como revelado nos p-prims da lei de Ohm, o conceito (causal) de ação transfere uma Sintaxe causal básica: agente → (tipo de ação) → sobre o paciente → resultado.

            DiSessa nota que sua interpretação permite um fundamento interpretativo para  e recomenda explora-la no ensino de mecânica. Contudo, ele não a reconhece como um esquema aspectual básico para estrutura verbal, que tem sido estudada detalhadamente em uma gramática cognitiva [22]. Conceitos aspectuais são geralmente a respeito de estruturas de eventos, em que os eventos são mudanças de estado ou causa (ou agentes causais) eventos induzidos. Causas não podem ser separadas de eventos. Há mais oportunidades para pesquisas.

            A respeito do ensino de física, diSessa diz que p-prims são refinados, mas não substituídos, que eles são gradualmente enriquecidos conforme a expertise em física. Considerando o papel de metáforas e analogias nesse processo, pode-se dizer que p-prims são reordenados. Há muitas outras questões para investigar nesse domínio. De modo geral, acredito que temos recursos teóricos suficientes para guiar pesquisas sobre desenho instrucional que tenham como alvo o estudo dos p-prims mais diretamente para sintoniza-los e integra-los em esquemas para melhorar a expertise conceitual. Proponho que planejemos protótipos experts idealizados para conceitos de força e movimento para servir de alvo para a instrução. Isso envolve melhorar o papel dos diagramas para incorporar esquemas figurais nos protótipos.

            O convite para planejar protótipos experts nos envolve com diversas questões profundas sobre física e epistemologia. Por exemplo, força realmente existe fora de nossos modelos mentais? Temos visto que a Teoria da Modelagem nos dá evidência que a resposta depende de nossa escolha de primitivos teóricos e medidas convencionais. De fato, se momentum é um primitivo, então a segunda lei de Newton é reduzida à definição de força como fluxo de momentum e a terceira lei de Newton expressa a conservação do momentum. A intuição física melhora quando a mecânica é reformulada em termos de momentum e fluxo de momentum como tem sido investigado por diSessa entre outros, mas poucos físicos têm notado que questões epistemológicas estão envolvidas. Não é a menor dessas questões a transição de mecânica clássica para a quântica, onde o momentum como um tipo de força é reduzido a uma figura verbal.

            Uma questão epistemológica relacionada: O conhecimento causal é domínio específico? Afirmações causais são suportadas por inferência causal vindos de modelos baseados no conhecimento de domínio-específico adquirido. Mas as inferências em diferentes domínios envolvem mecanismos intuitivos comuns? Possivelmente os diferentes domínios são devidos mais a estruturas dos modelos que ao raciocínio. Talvez devemos seguir a orientação de Lakoff para desenvolver força e interação como categoria radial para uma progressão de interação de faixas conceituais de partícula para campo.

            Frequentemente me pergunto como o FCI pode ser usado para avaliar a compreensão de estudantes em domínios fora da mecânica, tais como eletrodinâmica, termodinâmica, mecânica quântica e mesmo a matemática. De fato, muitos tem tentado faze-lo por eles mesmos, mas os resultados têm sido invariavelmente algo como um teste ordinário. A razão para essa falha é a atenção insuficiente para teorias e fatos cognitivos que orientaram o planejamento do FCI, que agora espero fiquem mais elucidados pela Teoria da Modelagem. O erro primário é pensar o FCI basicamente como detecção de misconceptions em mecânica. Como temos visto, ele visa comparar conceitos causais de censo comum a conceitos newtonianos. Os p-prims e esquemas imagéticas subjacentes aos conceitos de censo comum não são peculiares em mecânica, eles são estruturas cognitivas básicas para raciocínio em qualquer domínio. Então o problema primário é investigar como essas estruturas são adaptadas para outros domínios. Podemos ver se o raciocínio daqueles domínios requer outros p-prims que têm sido desconsiderados. Finalmente, podemos investigar como novos p-prims são criados para raciocínio avançado em ciências e matemática. Veremos na próxima seção discussões para o desenvolvimento de ferramentas conceituais para aprimorar o conhecimento científico.

IX. Ferramentas para o pensamento

            A evolução da ciência é dirigida pela invenção e uso de ferramentas de sofisticação e poder crescente! As ferramentas são de dois tipos: instrumentos para detectar padrões no mundo material e sistemas simbólicos para representar esses padrões para contemplação. Como delineado na Figura 10, podemos distinguir três estágios gerais no desenvolvimento dessas ferramentas.

                                  Figura 10. Desenvolvimento de ferramentas de modelagem.

            No domínio perceptivo, a detecção de padrões inicia com a observação direta usando o aparato sensorial humano. Então a faixa perceptiva é estendida por instrumentos científicos tais como telescópios ou microscópios. Finalmente, os detectores sensoriais humanos são substituídos por instrumentos cada vez mais sensíveis e os dados são processados por computadores, restando aos humanos somente a interpretação final dos dados; os dados podem ser alimentados por robôs que fazem todo o processo sem a participação humana.

            O desenvolvimento de ferramentas no domínio cognitivo inicia com a linguagem natural na forma escrita ou falada. Considerando sua evolução ad hoc, a coerência, flexibilidade e sutileza da linguagem natural é impressionante. O desenvolvimento mais deliberado e sistemático de ferramentas simbólicas ocorre com a emergência da ciência e matemática. O próximo estágio do aumento do poder cognitivo humano com ferramentas computacionais é então iniciado. Meu objetivo nessa seção é discutir sobre o que a Teoria da Modelagem pode nos dizer sobre a fundamentação intuitiva da matemática para servir de guia para a pesquisa sobre o planejamento de pesquisas que levem à melhoria do ensino a partir de ferramentas de matemática em ciência e engenharia.

            Embora a ciência seja uma pesquisa para estruturar, a matemática é a ciência da estrutura. Toda ciência desenvolve ferramentas de modelagem especializadas para representar a estrutura em investigação. Serve de exemplo o rico sistema de diagramas que a química tem desenvolvido para caracterizar a estrutura atômica e molecular. Ultimamente, embora esses sistemas permitam bases para modelos matemáticos com grande poder explanatório, o que justifica a aplicabilidade generalizada da matemática na ciência?

            Tenho curiosidade em saber como o pensamento matemático relaciona-se com a física teórica. De acordo com a Teoria da Modelagem, a física teórica relaciona-se ao planejamento e análise de modelos conceituais para representar estruturas no mundo material. A maioria desses modelos são modelos matemáticos, então a atividade cognitiva é chamada modelagem matemática. Mas como o pensamento matemático difere da modelagem matemática em física? Pode ser essencialmente a mesma quando não há referentes físicos para estruturas matemáticas? Estou convicto que a resposta é sim! A luz veio quando aprendia sobre semântica cognitiva e percebi que os referentes para cognição tanto na matemática quanto na física são modelos mentais! Lakoff e Núñez [20] argumentam convincentemente essa mesma conclusão, mas quero expressar minha própria opinião sobre isso.

            Sustento que a diferença básica entre matemáticos e físicos é a maneira que eles expressam seus modelos mentais sobre o mundo real. Os físicos correlacionam seus modelos mentais para estruturar o mundo material. Chamo a habilidade de fazer tais correspondências de intuição física. Note que os matemáticos não se envolvem necessariamente nisso. Por outro lado, os matemáticos preocupam-se em correlacionar seus modelos mentais para estruturar sistemas simbólicos. Chamo essa habilidade de fazer tais correspondências de intuição matemática. Na verdade, os físicos também relacionam seus modelos mentais em estruturas matemáticas, mas a maior parte deles usam uma matemática já dada. Quando eles se aventuram a modificar ou estender a estrutura matemática, eles funcionam como matemáticos. De fato, isso não é incomum, muita matemática foi criada por físicos teóricos.

            De acordo com a Teoria da Modelagem, os matemáticos pensam com estruturas intuitivas (em grande parte experiência sensória motora) como qualquer outra pessoa. Eles tentam codificar essas estruturas em sistemas simbólicos e elabora-las usando estrutura inferencial intuitiva de p-prims e esquemas imagéticos. Sugiro que o pensamento matemático envolve um circuito de feedback generalizando estruturas simbólicas externas que estimulam a modelagem no espaço mental para gerar mais estruturas simbólicas. Embora algum pensamento matemático possa ser feito com representações internas de símbolos, representações externas são essenciais para comunicação e construção [30]. Por essa razão acredito que a invenção da linguagem escrita foi um requisito essencial para criação da matemática.

            Vamos considerar um exemplo de base intuitiva para estrutura matemática. Lakoff e Núñez [20] dão muitos outros, incluindo quatro de base metafórica para aritmética. Note que a sintaxe causal intuitiva discutida na seção anterior pode ser construída como (pelo menos por projeção metafórica):

Sintaxe operador: agente → (tipo de ação) → sobre paciente → resultado.

            Onde a ação é sobre símbolos (em vez de objetos materiais) para produzir outros símbolos. Certamente isso permite uma base intuitiva para o conceito matemático de função (embora possa não ser a única). A investigação de modelos mentais revela vários tipos de estruturas que podem ser codificadas e organizadas dentro de um sistema simbólico tais como as teorias de Conjunto, Geometria, Topologia, Álgebra e teoria de Grupos. Observe que o número de tipos distintos de estrutura matemática é limitado, o que provavelmente reflete restrições sobre suas bases no sistema sensório motor. É claro que para confirmar esse ponto de vista são necessárias pesquisas aprofundadas para detalhar a base intuitiva para cada tipo de estrutura matemática. Lakoff e Núñez [20] tem realmente feito um bom início.

            O resultado é que o processo cognitivo na física e matemática teórica são fundamentalmente os mesmos, centrados sobre a construção e análise de modelos conceituais. Os jogos semânticos ocupam papel significativo no pensamento matemático (e no raciocínio humano em geral) do que geralmente reconhecido – é a semântica cognitiva dos modelos mentais, geralmente residindo no inconsciente cognitivo, mas frequentemente manifestado em padrões de habilidades de reconhecimento e construção [31]. A intuição matemática (assim como a intuição física) é o repertório de estruturas mentais (esquemas) para construir e manipular modelos mentais! Isso leva um longo caminho para responder à questão: o que é compreender um conceito científico?

            Eu não estou só em minha opinião sobre a relação entre a física e a matemática. Há uma breve citação de uma longa crítica Sobre o Ensino de Matemática pelo célebre matemático russo V. I. Arnold [32]:

“Matemática é uma parte da física. Física é uma ciência experimental, uma parte da ciência natural. Matemática é a parte da física onde os experimentos são baratos... Na metade do século XX tentaram dividir matemática e física. A consequência tornou-se catastrófica. Gerações inteiras de matemáticos cresceram sem saber metade de sua ciência e, naturalmente ignoram outras ciências. “

            Arnold provoca deliberadamente, mas não levianamente. Ele levanta uma questão educacional muito importante que merece menção completamente à parte da conexão profunda para ciência cognitiva que mais nos preocupa aqui.

            Há evidências abundantes que apoiam o argumento de Arnold. Por exemplo, até a Segunda Guerra Mundial, a física foi pouco requerida para a formação de matemáticos nos Estados Unidos. Depois da Guerra, o currículo de matemática incrivelmente inicia com tópicos importantes de física e os departamentos de física ensinam mais matemática a seus estudantes. No mesmo período, os matemáticos têm contribuído menos, e menos para a física, com algumas exceções como o russo Arnold, que sustentou a conexão da matemática com a física.

            Mas a consequência mais grave do divórcio da matemática com a física é o fato que, pelo menos nos Estados Unidos, a maiorias das faculdades para professores de matemática tem pouco insight com relação à matemática para professores de ciências e física em particular. Há um conjunto de dados que apoiam minha argumentação: Administramos o FCI para um grupo de 20 professores universitários de matemática. O perfil dos resultados foi o mesmo do perfil lamentável do ensino tradicional na Figura 9, com a pontuação máxima no limiar newtoniano de 60%. Metade dos professores erraram questões básicas sobre velocidade e aceleração. Este abismo entre matemática e ciência, completamente enraizado nos professores, pode ser a única barreira mais séria para uma reforma significativa no ensino de ciências.

            Para documentar a eficiência no ensino de matemática, muitos tem proposto um Math Concept Inventory (MCI) análogo ao FCI. Tenho resistido a essa proposta por carência de dados e teoria adequada sobre a fundamentação intuitiva do pensamento matemático. Há grande quantidade de pesquisa sobre a aprendizagem conceitual em matemática, mas a maioria delas usam teoria cognitiva superada. A Teoria da Modelagem oferece uma nova abordagem que pode dar fruto imediatamente do que tem sido aprendido sobre o mecanismo cognitivo em física. Precisamos identifica “m-prims” que são análogos correlatos de p-prims discutidos na seção anterior. Suspeito que os mecanismos intuitivos subjacentes são os mesmos para m-prims e p prims, mas suas conexões para experiências devem ser diferentes para dar conta da diferença entre intuição física e matemática visto anteriormente. Recomendo pesquisa coordenada sobre m-prims e p-prims objetivando por uma Teoria da Modelagem da cognição em ciência e matemática.

            Tenho um conjunto raro de estágios para aplicação da Teoria da Modelagem para minha empreitada favorita, nomeadamente, o planejamento de ferramentas de modelagem para aprendizagem em ciências, engenharia e matemática [10]. Tenho descrito anteriormente a influência de minha pesquisa sobre Álgebra Geométrica no desenvolvimento da Teoria da Modelagem [13]. Agora acredito que a Teoria da Modelagem ficou madura ao ponto de poder contribuir, junto com a Álgebra Geométrica, para o planejamento de ferramentas de modelagem mais poderosas, especialmente ferramentas inseridas em softwares computacionais. Mas isso é uma tarefa para amanhã!

X. Conclusão

            Tese central: A cognição em ciência, matemática e vida cotidiana é basicamente a construção e manipulação de modelos mentais.

·         A capacidade cognitiva humana par criar, manipular e recordar de modelos mentais foi desenvolvida para facilitar a competição com o ambiente, então eles são centrais para o pensamento de “senso comum” e comunicação.

·         A cultura humana tem ampliado e aumentado sua capacidade de criar sistemas semióticos: sistemas de representação por signos (símbolos, diagramas, sinais, ícones etc.), mais notavelmente a linguagem escrita e falada.

·         Ciência e matemática tiveram mais extensão pelo uso deliberado e auto-consciente de sistemas simbólicos, mais os mecanismos envolvidos são essencialmente os mesmos do senso comum.

Modelagem científica é uma “extensão auto-consciente e deliberada de capacidades cognitivas envolvidas para ‘manipular’ o ambiente” (Giere).

Ciência é um refinamento do senso comum! Divergindo com relação a:

Objetividade – baseada sobre convenções e regras explícitas para inferências independentes por observação.

Precisão – na medição.

                -. na descrição e análise.

Formalização – para modelagem matemática e análise de sistemas complexos.

Sistematicidade – Integrando o conhecimento de forma coerente, consistente & maximizada.

Confiabilidade – testes críticos & resultados reproduzíveis.

Cepticismo – sobre afirmações infundadas.

Conhecimento e mistério – como diz Weisskopf & Sagan.

Estrutura social e normas – Ziaman.

Para a grande questão filosófica: “O que é o homem?”

Aristóteles respondeu:

“O homem é um animal racional”

A Teoria da Modelagem oferece uma nova resposta:

“O homem é um animal modelador!”. Homo Modelus!

Referências

[1] Geometric Calculus Research: <http://modelingnts.la.asu.edu>

[2] D. Hestenes (1979), Wherefore a Science of Teaching, The Physics Teacher 17: 235-242.

[3] I. Halloun and D. Hestenes (1985), Initial Knowledge State of College Physics Students, Am. J. Phys. 53: 1043-1055.

[4] I. Halloun and D. Hestenes(1985), Common Sense Concepts about Motion, Am. J. Phys. 53, 1056-1065.

[5] D. Hestenes, M. Wells, and G. Swackhamer (1992), Force Concept Inventory, Physics Teacher 30: 141-158.

[6] D. Hestenes, Toward a Modeling Theory of Physics Instruction (1987), Am. J. Phys. 55: 440-454.

[7] D. Hestenes, Modeling Games in the Newtonian World, Am. J. Phys. 60: 732-748 (1992).

[8] M. Wells, D. Hestenes, and G. Swackhamer (1995), A Modeling Method for High School Physics Instruction, Am. J. Phys. 63: 606-619.

[9] D. Hestenes (1997), Modeling Methodology for Physics Teachers. In E. Redish & J. Rigden (Eds.) The changing role of the physics department in modern universities. American Institute of Physics Part II. p. 935-957.

[10] D. Hestenes (1996), Modeling Software for learning and doing physics. In C. Bernardini, C. Tarsitani and M. Vincentini (Eds.), Thinking Physics for Teaching, Plenum, New York, p. 25-66.

[11] Modeling Instruction Project: <http://modeling.asu.edu> This website includes research articles as well as details about implementation and evaluation.

[12] D. Hestenes (1999), New Foundations for Classical Mechanics, (Reidel, Dordrecht/Boston, 1986), Second Edition (Kluwer, Dordrecht/Boston).

[13] D. Hestenes (2003), Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics, Am. J. Phys. 71:104-121.

[14] D. Hestenes (2005), Gauge Theory Gravity with Geometric Calculus, Foundations of Physics 33: 903-970.

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[16] D. Gentner, K. Holyoak & B. Kokinov (2001), The Analogical Mind (MIT Press, Cambridge MA).

[17] G. Lakoff & M. Johnson (1980), Metaphors We Live By (U. Chicago Press, Chicago)

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[19] G. Lakoff & M. Johnson (1999), Philosopy in the Flesh (Basic Books, New York)

[20] G. Lakoff & R. Núñez (2000), Where mathematics comes from. (Basic Books, New York)

[21] M. Johnson (1987), The Body in the Mind: The Bodily Basis of Meaning, Imagination, and reason. (U. Chicago Press, Chicago)

[22] R. Langacker (2000), Grammar and Conceptualization (Mouton de Gruyter, Berlin).

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[28] J. Clement & C. Camp (1994), Preconceptions in Mechanics (Kendall/Hunt, Dubuque).

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[30] J. Ziman (1978). Reliable knowledge, An exploration of the grounds for belief in Science (Cambridge U. Press, Cambridge).

[31] P. Ross (2006), The Expert Mind, Scientific American 295: 64-71.

[32] V. I. Arnold (1997), On Teaching Mathematics, (http://pauli-uni-muester.de/~munsteg/arnold.html)

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[1]Publicado em GIREP Conference Modeling in Physics and Physics Education, Amsterdam, August 20 – 25, 2006.

[2] Arizona State University

[3] Docente do Instituto de Ciências da Educação, Universidade Federal do Oeste do Pará, Santarém, Pará, Brasil.